解決{l}{50x+3y=1}{2x-4y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$50x+3y=1$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$50x=-3y+1$$

將兩邊同時除以 50。

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

\frac{1}{50} 乘上 -3y+1。

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

在另一個方程式 2x-4y=5 中以 \frac{-3y+1}{50} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

2 乘上 \frac{-3y+1}{50}。

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

將 -\frac{3y}{25} 加到 -4y。

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{25}。

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{103}{25}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{124}{103}$$

在 x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50} 中以 -\frac{124}{103} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

-\frac{3}{50} 乘上 -\frac{124}{103} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

將 \frac{1}{50} 與 \frac{186}{2575} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{19}{206}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

讓 50x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 50。

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

化簡。

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 100x+6y=2 減去 100x-200y=250。

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

將 100x 加到 -100x。 100x 和 -100x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y+200y=2-250$$

將 6y 加到 200y。

$$206y=2-250$$

將 2 加到 -250。

$$206y=-248$$

將兩邊同時除以 206。

$$y=-\frac{124}{103}$$

在 2x-4y=5 中以 -\frac{124}{103} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

-4 乘上 -\frac{124}{103}。

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

從方程式兩邊減去 \frac{496}{103}。

$$2x=\frac{19}{103}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{19}{206}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$