解決{l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$5y+8x=-18$$

從方程式兩邊減去 8x。

$$5y=-8x-18$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -8x-18。

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

在另一個方程式 5y+2x=58 中以 \frac{-8x-18}{5} 代入 y在方程式。

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

5 乘上 \frac{-8x-18}{5}。

$$-8x-18+2x=58$$

將 -8x 加到 2x。

$$-6x-18=58$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$-6x=76$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=-\frac{38}{3}$$

在 y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5} 中以 -\frac{38}{3} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

-\frac{8}{5} 乘上 -\frac{38}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

將 -\frac{18}{5} 與 \frac{304}{15} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=\frac{50}{3}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5y+8x=-18 減去 5y+2x=58。

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

將 5y 加到 -5y。 5y 和 -5y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8x-2x=-18-58$$

將 8x 加到 -2x。

$$6x=-18-58$$

將 -18 加到 -58。

$$6x=-76$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=-\frac{38}{3}$$

在 5y+2x=58 中以 -\frac{38}{3} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

2 乘上 -\frac{38}{3}。

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

將 \frac{76}{3} 加到方程式的兩邊。

$$5y=\frac{250}{3}$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=\frac{50}{3}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$