解 x、y
x=2
y=3
圖表
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5x-y=7,3x+2y=12
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
5x-y=7
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
5x=y+7
將 y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{5}\left(y+7\right)
將兩邊同時除以 5。
x=\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}
\frac{1}{5} 乘上 y+7。
3\left(\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}\right)+2y=12
在另一個方程式 3x+2y=12 中以 \frac{7+y}{5} 代入 x在方程式。
\frac{3}{5}y+\frac{21}{5}+2y=12
3 乘上 \frac{7+y}{5}。
\frac{13}{5}y+\frac{21}{5}=12
將 \frac{3y}{5} 加到 2y。
\frac{13}{5}y=\frac{39}{5}
從方程式兩邊減去 \frac{21}{5}。
y=3
對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}
在 x=\frac{1}{5}y+\frac{7}{5} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{3+7}{5}
\frac{1}{5} 乘上 3。
x=2
將 \frac{7}{5} 與 \frac{3}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=2,y=3
現已成功解出系統。
5x-y=7,3x+2y=12
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 12\\-\frac{3}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 12\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)
計算。
x=2,y=3
解出矩陣元素 x 和 y。
5x-y=7,3x+2y=12
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 7,5\times 3x+5\times 2y=5\times 12
讓 5x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。
15x-3y=21,15x+10y=60
化簡。
15x-15x-3y-10y=21-60
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-3y=21 減去 15x+10y=60。
-3y-10y=21-60
將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-13y=21-60
將 -3y 加到 -10y。
-13y=-39
將 21 加到 -60。
y=3
將兩邊同時除以 -13。
3x+2\times 3=12
在 3x+2y=12 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
3x+6=12
2 乘上 3。
3x=6
從方程式兩邊減去 6。
x=2
將兩邊同時除以 3。
x=2,y=3
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}