解決{l}{5x-y=3}{-2x+4y=12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-y=3$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$5x=y+3$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 y+3。

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

在另一個方程式 -2x+4y=12 中以 \frac{3+y}{5} 代入 x在方程式。

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=12$$

-2 乘上 \frac{3+y}{5}。

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=12$$

將 -\frac{2y}{5} 加到 4y。

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=12$$

將 \frac{6}{5} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{18}{5}y=\frac{66}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{18}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{11}{3}$$

在 x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5} 中以 \frac{11}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{11}{3}+\frac{3}{5}$$

\frac{1}{5} 乘上 \frac{11}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{11}{15}+\frac{3}{5}$$

將 \frac{3}{5} 與 \frac{11}{15} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{4}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\times 12\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

讓 5x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\times 12$$

化簡。

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=60$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -10x+2y=-6 減去 -10x+20y=60。

$$-10x+10x+2y-20y=-6-60$$

將 -10x 加到 10x。 -10x 和 10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-20y=-6-60$$

將 2y 加到 -20y。

$$-18y=-6-60$$

將 -6 加到 -60。

$$-18y=-66$$

將兩邊同時除以 -18。

$$y=\frac{11}{3}$$

在 -2x+4y=12 中以 \frac{11}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x+4\times \frac{11}{3}=12$$

4 乘上 \frac{11}{3}。

$$-2x+\frac{44}{3}=12$$

從方程式兩邊減去 \frac{44}{3}。

$$-2x=-\frac{8}{3}$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=\frac{4}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$