解決{l}{5x-8y=9}{2x+y=12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 y = 9 } \\ { 2 x + y = 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-8y=9$$

將 8y 加到方程式的兩邊。

$$5x=8y+9$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(8y+9\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 8y+9。

$$x=\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}$$

在另一個方程式 2x+y=12 中以 \frac{8y+9}{5} 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}\right)+y=12$$

2 乘上 \frac{8y+9}{5}。

$$\frac{16}{5}y+\frac{18}{5}+y=12$$

將 \frac{16y}{5} 加到 y。

$$\frac{21}{5}y+\frac{18}{5}=12$$

從方程式兩邊減去 \frac{18}{5}。

$$\frac{21}{5}y=\frac{42}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{21}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=\frac{8}{5}y+\frac{9}{5} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{8}{5}\times 2+\frac{9}{5}$$

\frac{8}{5} 乘上 2。

$$x=\frac{16+9}{5}$$

將 \frac{9}{5} 與 \frac{16}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{5-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-8\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}&\frac{8}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}\times 9+\frac{8}{21}\times 12\\-\frac{2}{21}\times 9+\frac{5}{21}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

讓 5x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 9,5\times 2x+5y=5\times 12$$

化簡。

$$10x-16y=18,10x+5y=60$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x-16y=18 減去 10x+5y=60。

$$10x-10x-16y-5y=18-60$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-16y-5y=18-60$$

將 -16y 加到 -5y。

$$-21y=18-60$$

將 18 加到 -60。

$$-21y=-42$$

將兩邊同時除以 -21。

$$y=2$$

在 2x+y=12 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+2=12$$

從方程式兩邊減去 2。

$$2x=10$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=2$$