解決{l}{5x-8=y}{3x+2y=2} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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https://math.stackexchange.com/q/985309

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5x-8-y=0

考慮第一個方程式。從兩邊減去 y。

5x-y=8

新增 8 至兩側。任何項目加上零的結果都會是自己本身。

5x-y=8,3x+2y=2

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

5x-y=8

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

5x=y+8

將 y 加到方程式的兩邊。

x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)

將兩邊同時除以 5。

x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}

\frac{1}{5} 乘上 y+8。

3\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=2

在另一個方程式 3x+2y=2 中以 \frac{8+y}{5} 代入 x在方程式。

\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}+2y=2

3 乘上 \frac{8+y}{5}。

\frac{13}{5}y+\frac{24}{5}=2

將 \frac{3y}{5} 加到 2y。

\frac{13}{5}y=-\frac{14}{5}

從方程式兩邊減去 \frac{24}{5}。

y=-\frac{14}{13}

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=\frac{1}{5}\left(-\frac{14}{13}\right)+\frac{8}{5}

在 x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5} 中以 -\frac{14}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=-\frac{14}{65}+\frac{8}{5}

\frac{1}{5} 乘上 -\frac{14}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

x=\frac{18}{13}

將 \frac{8}{5} 與 -\frac{14}{65} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}

現已成功解出系統。

5x-8-y=0

考慮第一個方程式。從兩邊減去 y。

5x-y=8

新增 8 至兩側。任何項目加上零的結果都會是自己本身。

5x-y=8,3x+2y=2

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8+\frac{1}{13}\times 2\\-\frac{3}{13}\times 8+\frac{5}{13}\times 2\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\-\frac{14}{13}\end{matrix}\right)

計算。

x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}

解出矩陣元素 x 和 y。

5x-8-y=0

考慮第一個方程式。從兩邊減去 y。

5x-y=8

新增 8 至兩側。任何項目加上零的結果都會是自己本身。

5x-y=8,3x+2y=2

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 2