解決{l}{5x-7y=4}{-x+2y=-3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 4 } \\ { - x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-7y=4$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$5x=7y+4$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(7y+4\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 7y+4。

$$x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

在另一個方程式 -x+2y=-3 中以 \frac{7y+4}{5} 代入 x在方程式。

$$-\left(\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}\right)+2y=-3$$

-1 乘上 \frac{7y+4}{5}。

$$-\frac{7}{5}y-\frac{4}{5}+2y=-3$$

將 -\frac{7y}{5} 加到 2y。

$$\frac{3}{5}y-\frac{4}{5}=-3$$

將 \frac{4}{5} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{3}{5}y=-\frac{11}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{11}{3}$$

在 x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5} 中以 -\frac{11}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{5}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{4}{5}$$

\frac{7}{5} 乘上 -\frac{11}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{77}{15}+\frac{4}{5}$$

將 \frac{4}{5} 與 -\frac{77}{15} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{13}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 4+\frac{7}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

讓 5x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-5x-\left(-7y\right)=-4,5\left(-1\right)x+5\times 2y=5\left(-3\right)$$

化簡。

$$-5x+7y=-4,-5x+10y=-15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -5x+7y=-4 減去 -5x+10y=-15。

$$-5x+5x+7y-10y=-4+15$$

將 -5x 加到 5x。 -5x 和 5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$7y-10y=-4+15$$

將 7y 加到 -10y。

$$-3y=-4+15$$

將 -4 加到 15。

$$-3y=11$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=-\frac{11}{3}$$

在 -x+2y=-3 中以 -\frac{11}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+2\left(-\frac{11}{3}\right)=-3$$

2 乘上 -\frac{11}{3}。

$$-x-\frac{22}{3}=-3$$

將 \frac{22}{3} 加到方程式的兩邊。

$$-x=\frac{13}{3}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\frac{13}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$