解決{l}{5x-7y=-9}{-2x-y=-4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 9 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-7y=-9$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$5x=7y-9$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-9\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 7y-9。

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}$$

在另一個方程式 -2x-y=-4 中以 \frac{7y-9}{5} 代入 x在方程式。

$$-2\left(\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}\right)-y=-4$$

-2 乘上 \frac{7y-9}{5}。

$$-\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}-y=-4$$

將 -\frac{14y}{5} 加到 -y。

$$-\frac{19}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

從方程式兩邊減去 \frac{18}{5}。

$$-\frac{19}{5}y=-\frac{38}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{19}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=\frac{7}{5}y-\frac{9}{5} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{5}\times 2-\frac{9}{5}$$

\frac{7}{5} 乘上 2。

$$x=\frac{14-9}{5}$$

將 -\frac{9}{5} 與 \frac{14}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&-\frac{7}{19}\\-\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-9\right)-\frac{7}{19}\left(-4\right)\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)-\frac{5}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

讓 5x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-2\times 5x-2\left(-7\right)y=-2\left(-9\right),5\left(-2\right)x+5\left(-1\right)y=5\left(-4\right)$$

化簡。

$$-10x+14y=18,-10x-5y=-20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -10x+14y=18 減去 -10x-5y=-20。

$$-10x+10x+14y+5y=18+20$$

將 -10x 加到 10x。 -10x 和 10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$14y+5y=18+20$$

將 14y 加到 5y。

$$19y=18+20$$

將 18 加到 20。

$$19y=38$$

將兩邊同時除以 19。

$$y=2$$

在 -2x-y=-4 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-2=-4$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$-2x=-2$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=2$$