解決{l}{5x-7y=-27}{2x+3y=24} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 27 } \\ { 2 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-7y=-27$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$5x=7y-27$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-27\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 7y-27。

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}$$

在另一個方程式 2x+3y=24 中以 \frac{7y-27}{5} 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}\right)+3y=24$$

2 乘上 \frac{7y-27}{5}。

$$\frac{14}{5}y-\frac{54}{5}+3y=24$$

將 \frac{14y}{5} 加到 3y。

$$\frac{29}{5}y-\frac{54}{5}=24$$

將 \frac{54}{5} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{29}{5}y=\frac{174}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{29}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=6$$

在 x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5} 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{5}\times 6-\frac{27}{5}$$

\frac{7}{5} 乘上 6。

$$x=\frac{42-27}{5}$$

將 -\frac{27}{5} 與 \frac{42}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\left(-27\right)+\frac{7}{29}\times 24\\-\frac{2}{29}\left(-27\right)+\frac{5}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

讓 5x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\left(-27\right),5\times 2x+5\times 3y=5\times 24$$

化簡。

$$10x-14y=-54,10x+15y=120$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x-14y=-54 減去 10x+15y=120。

$$10x-10x-14y-15y=-54-120$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-14y-15y=-54-120$$

將 -14y 加到 -15y。

$$-29y=-54-120$$

將 -54 加到 -120。

$$-29y=-174$$

將兩邊同時除以 -29。

$$y=6$$

在 2x+3y=24 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+3\times 6=24$$

3 乘上 6。

$$2x+18=24$$

從方程式兩邊減去 18。

$$2x=6$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=6$$