解決{l}{5x-6y=4}{3x+7y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 4 } \\ { 3 x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{76}{53} = 1\frac{23}{53} \approx 1.433962264$$

$$y=\frac{28}{53}\approx 0.528301887$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-6y=4$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$5x=6y+4$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+4\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 6y+4。

$$x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}$$

在另一個方程式 3x+7y=8 中以 \frac{6y+4}{5} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}\right)+7y=8$$

3 乘上 \frac{6y+4}{5}。

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+7y=8$$

將 \frac{18y}{5} 加到 7y。

$$\frac{53}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{12}{5}。

$$\frac{53}{5}y=\frac{28}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{53}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{28}{53}$$

在 x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5} 中以 \frac{28}{53} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{6}{5}\times \frac{28}{53}+\frac{4}{5}$$

\frac{6}{5} 乘上 \frac{28}{53} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{168}{265}+\frac{4}{5}$$

將 \frac{4}{5} 與 \frac{168}{265} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{76}{53}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{6}{53}\\-\frac{3}{53}&\frac{5}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}\times 4+\frac{6}{53}\times 8\\-\frac{3}{53}\times 4+\frac{5}{53}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{53}\\\frac{28}{53}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

讓 5x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 4,5\times 3x+5\times 7y=5\times 8$$

化簡。

$$15x-18y=12,15x+35y=40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-18y=12 減去 15x+35y=40。

$$15x-15x-18y-35y=12-40$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-18y-35y=12-40$$

將 -18y 加到 -35y。

$$-53y=12-40$$

將 12 加到 -40。

$$-53y=-28$$

將兩邊同時除以 -53。

$$y=\frac{28}{53}$$

在 3x+7y=8 中以 \frac{28}{53} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+7\times \frac{28}{53}=8$$

7 乘上 \frac{28}{53}。

$$3x+\frac{196}{53}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{196}{53}。

$$3x=\frac{228}{53}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{76}{53}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$