解決{l}{5x-6y=10}{2x+7y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 10 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{88}{47} = 1\frac{41}{47} \approx 1.872340426$$

$$y=-\frac{5}{47}\approx -0.106382979$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-6y=10$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$5x=6y+10$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+10\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 6y+10。

$$x=\frac{6}{5}y+2$$

在另一個方程式 2x+7y=3 中以 \frac{6y}{5}+2 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{6}{5}y+2\right)+7y=3$$

2 乘上 \frac{6y}{5}+2。

$$\frac{12}{5}y+4+7y=3$$

將 \frac{12y}{5} 加到 7y。

$$\frac{47}{5}y+4=3$$

從方程式兩邊減去 4。

$$\frac{47}{5}y=-1$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{47}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{5}{47}$$

在 x=\frac{6}{5}y+2 中以 -\frac{5}{47} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{6}{5}\left(-\frac{5}{47}\right)+2$$

\frac{6}{5} 乘上 -\frac{5}{47} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{6}{47}+2$$

將 2 加到 -\frac{6}{47}。

$$x=\frac{88}{47}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\\-\frac{2}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 10+\frac{6}{47}\times 3\\-\frac{2}{47}\times 10+\frac{5}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{88}{47}\\-\frac{5}{47}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

讓 5x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$2\times 5x+2\left(-6\right)y=2\times 10,5\times 2x+5\times 7y=5\times 3$$

化簡。

$$10x-12y=20,10x+35y=15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x-12y=20 減去 10x+35y=15。

$$10x-10x-12y-35y=20-15$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12y-35y=20-15$$

將 -12y 加到 -35y。

$$-47y=20-15$$

將 20 加到 -15。

$$-47y=5$$

將兩邊同時除以 -47。

$$y=-\frac{5}{47}$$

在 2x+7y=3 中以 -\frac{5}{47} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+7\left(-\frac{5}{47}\right)=3$$

7 乘上 -\frac{5}{47}。

$$2x-\frac{35}{47}=3$$

將 \frac{35}{47} 加到方程式的兩邊。

$$2x=\frac{176}{47}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{88}{47}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$