解決{l}{5x-6y=-7}{x-y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 7 } \\ { x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-6y=-7,x-y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-6y=-7$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$5x=6y-7$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-7\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 6y-7。

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{7}{5}$$

在另一個方程式 x-y=-1 中以 \frac{6y-7}{5} 代入 x在方程式。

$$\frac{6}{5}y-\frac{7}{5}-y=-1$$

將 \frac{6y}{5} 加到 -y。

$$\frac{1}{5}y-\frac{7}{5}=-1$$

將 \frac{7}{5} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{1}{5}y=\frac{2}{5}$$

將兩邊同時乘上 5。

$$y=2$$

在 x=\frac{6}{5}y-\frac{7}{5} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{6}{5}\times 2-\frac{7}{5}$$

\frac{6}{5} 乘上 2。

$$x=\frac{12-7}{5}$$

將 -\frac{7}{5} 與 \frac{12}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-6y=-7,x-y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{5\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-7\right)+6\left(-1\right)\\-\left(-7\right)+5\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-6y=-7,x-y=-1$$

讓 5x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$5x-6y=-7,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-1\right)$$

化簡。

$$5x-6y=-7,5x-5y=-5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-6y=-7 減去 5x-5y=-5。

$$5x-5x-6y+5y=-7+5$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y+5y=-7+5$$

將 -6y 加到 5y。

$$-y=-7+5$$

將 -7 加到 5。

$$-y=-2$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=2$$

在 x-y=-1 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-2=-1$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=2$$