解決{l}{5x-6y=-25}{4x-3y+20=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 25 } \\ { 4 x - 3 y + 20 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-5$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-6y=-25$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$5x=6y-25$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-25\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 6y-25。

$$x=\frac{6}{5}y-5$$

在另一個方程式 4x-3y+20=0 中以 \frac{6y}{5}-5 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{6}{5}y-5\right)-3y+20=0$$

4 乘上 \frac{6y}{5}-5。

$$\frac{24}{5}y-20-3y+20=0$$

將 \frac{24y}{5} 加到 -3y。

$$\frac{9}{5}y-20+20=0$$

將 -20 加到 20。

$$\frac{9}{5}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{9}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=\frac{6}{5}y-5 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-5,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-25\right)+\frac{2}{3}\left(-20\right)\\-\frac{4}{9}\left(-25\right)+\frac{5}{9}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-5,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

讓 5x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$4\times 5x+4\left(-6\right)y=4\left(-25\right),5\times 4x+5\left(-3\right)y+5\times 20=0$$

化簡。

$$20x-24y=-100,20x-15y+100=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x-24y=-100 減去 20x-15y+100=0。

$$20x-20x-24y+15y-100=-100$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-24y+15y-100=-100$$

將 -24y 加到 15y。

$$-9y-100=-100$$

將 100 加到方程式的兩邊。

$$-9y=0$$

將兩邊同時除以 -9。

$$y=0$$

在 4x-3y+20=0 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+20=0$$

從方程式兩邊減去 20。

$$4x=-20$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-5,y=0$$