解決{l}{5x-5y=5}{-6x+5y=-6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 5 y = 5 } \\ { - 6 x + 5 y = - 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-5y=5$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$5x=5y+5$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(5y+5\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 5+5y。

$$x=y+1$$

在另一個方程式 -6x+5y=-6 中以 y+1 代入 x在方程式。

$$-6\left(y+1\right)+5y=-6$$

-6 乘上 y+1。

$$-6y-6+5y=-6$$

將 -6y 加到 5y。

$$-y-6=-6$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$-y=0$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=0$$

在 x=y+1 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}&-\frac{-5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-\frac{6}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-\left(-6\right)\\-\frac{6}{5}\times 5-\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

讓 5x 和 -6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-6\times 5x-6\left(-5\right)y=-6\times 5,5\left(-6\right)x+5\times 5y=5\left(-6\right)$$

化簡。

$$-30x+30y=-30,-30x+25y=-30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -30x+30y=-30 減去 -30x+25y=-30。

$$-30x+30x+30y-25y=-30+30$$

將 -30x 加到 30x。 -30x 和 30x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$30y-25y=-30+30$$

將 30y 加到 -25y。

$$5y=-30+30$$

將 -30 加到 30。

$$5y=0$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=0$$

在 -6x+5y=-6 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-6x=-6$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=0$$