解決{l}{5x-4y=19}{x+2y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

$$y = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-4y=19$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$5x=4y+19$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 4y+19。

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

在另一個方程式 x+2y=7 中以 \frac{4y+19}{5} 代入 x在方程式。

$$\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}+2y=7$$

將 \frac{4y}{5} 加到 2y。

$$\frac{14}{5}y+\frac{19}{5}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{19}{5}。

$$\frac{14}{5}y=\frac{16}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{14}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{8}{7}$$

在 x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5} 中以 \frac{8}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{8}{7}+\frac{19}{5}$$

\frac{4}{5} 乘上 \frac{8}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{32}{35}+\frac{19}{5}$$

將 \frac{19}{5} 與 \frac{32}{35} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{33}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{5\times 2-\left(-4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 19+\frac{2}{7}\times 7\\-\frac{1}{14}\times 19+\frac{5}{14}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{7}\\\frac{8}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

讓 5x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$5x-4y=19,5x+5\times 2y=5\times 7$$

化簡。

$$5x-4y=19,5x+10y=35$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-4y=19 減去 5x+10y=35。

$$5x-5x-4y-10y=19-35$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-10y=19-35$$

將 -4y 加到 -10y。

$$-14y=19-35$$

將 19 加到 -35。

$$-14y=-16$$

將兩邊同時除以 -14。

$$y=\frac{8}{7}$$

在 x+2y=7 中以 \frac{8}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+2\times \frac{8}{7}=7$$

2 乘上 \frac{8}{7}。

$$x+\frac{16}{7}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{16}{7}。

$$x=\frac{33}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$