解決{l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

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5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

5x-3y-4=34

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

5x-3y=38

將 4 加到方程式的兩邊。

5x=3y+38

將 3y 加到方程式的兩邊。

x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)

將兩邊同時除以 5。

x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}

\frac{1}{5} 乘上 3y+38。

-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34

在另一個方程式 -3x+5y-18=34 中以 \frac{3y+38}{5} 代入 x在方程式。

-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34

-3 乘上 \frac{3y+38}{5}。

\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34

將 -\frac{9y}{5} 加到 5y。

\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34

將 -\frac{114}{5} 加到 -18。

\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}

將 \frac{204}{5} 加到方程式的兩邊。

y=\frac{187}{8}

對方程式的兩邊同時除以 \frac{16}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}

在 x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5} 中以 \frac{187}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}

\frac{3}{5} 乘上 \frac{187}{8} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

x=\frac{173}{8}

將 \frac{38}{5} 與 \frac{561}{40} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}

現已成功解出系統。

5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)

計算。

x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}

解出矩陣元素 x 和 y。

5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34

讓 5x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170

化簡。

-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170