解決{l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-3y=2$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$5x=3y+2$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 3y+2。

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

在另一個方程式 6x+2y=-5 中以 \frac{3y+2}{5} 代入 x在方程式。

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

6 乘上 \frac{3y+2}{5}。

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

將 \frac{18y}{5} 加到 2y。

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

從方程式兩邊減去 \frac{12}{5}。

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{28}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{37}{28}$$

在 x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} 中以 -\frac{37}{28} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

\frac{3}{5} 乘上 -\frac{37}{28} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

將 \frac{2}{5} 與 -\frac{111}{140} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{11}{28}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

讓 5x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

化簡。

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 30x-18y=12 減去 30x+10y=-25。

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

將 30x 加到 -30x。 30x 和 -30x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-18y-10y=12+25$$

將 -18y 加到 -10y。

$$-28y=12+25$$

將 12 加到 25。

$$-28y=37$$

將兩邊同時除以 -28。

$$y=-\frac{37}{28}$$

在 6x+2y=-5 中以 -\frac{37}{28} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

2 乘上 -\frac{37}{28}。

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

將 \frac{37}{14} 加到方程式的兩邊。

$$6x=-\frac{33}{14}$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=-\frac{11}{28}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$