解決{l}{5x-3y=10}{6y=kx-42} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 10 } \\ { 6 y = k x - 42 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{22}{k-10}$$

$$y=-\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(k-10\right)}$$

$$k\neq 10$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 kx。

$$6y-kx=-42$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-3y=10$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$5x=3y+10$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+10\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 3y+10。

$$x=\frac{3}{5}y+2$$

在另一個方程式 \left(-k\right)x+6y=-42 中以 \frac{3y}{5}+2 代入 x在方程式。

$$\left(-k\right)\left(\frac{3}{5}y+2\right)+6y=-42$$

-k 乘上 \frac{3y}{5}+2。

$$\left(-\frac{3k}{5}\right)y-2k+6y=-42$$

將 -\frac{3ky}{5} 加到 6y。

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y-2k=-42$$

將 2k 加到方程式的兩邊。

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y=2k-42$$

將兩邊同時除以 -\frac{3k}{5}+6。

$$y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

在 x=\frac{3}{5}y+2 中以 \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}+2$$

\frac{3}{5} 乘上 \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)}。

$$x=\frac{2\left(k-21\right)}{10-k}+2$$

將 2 加到 \frac{2\left(-21+k\right)}{-k+10}。

$$x=-\frac{22}{10-k}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{22}{10-k},y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 kx。

$$6y-kx=-42$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\\-\frac{-k}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&\frac{5}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}&\frac{1}{10-k}\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}&\frac{5}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}\times 10+\frac{1}{10-k}\left(-42\right)\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}\times 10+\frac{5}{3\left(10-k\right)}\left(-42\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{10-k}\\-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{22}{10-k},y=-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 kx。

$$6y-kx=-42$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

讓 5x 和 -kx 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -k，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$\left(-k\right)\times 5x+\left(-k\right)\left(-3\right)y=\left(-k\right)\times 10,5\left(-k\right)x+5\times 6y=5\left(-42\right)$$

化簡。

$$\left(-5k\right)x+3ky=-10k,\left(-5k\right)x+30y=-210$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \left(-5k\right)x+3ky=-10k 減去 \left(-5k\right)x+30y=-210。

$$\left(-5k\right)x+5kx+3ky-30y=-10k+210$$

將 -5kx 加到 5kx。 -5kx 和 5kx 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3ky-30y=-10k+210$$

將 3ky 加到 -30y。

$$\left(3k-30\right)y=-10k+210$$

將 -10k 加到 210。

$$\left(3k-30\right)y=210-10k$$

將兩邊同時除以 -30+3k。

$$y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$

在 \left(-k\right)x+6y=-42 中以 \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$\left(-k\right)x+6\times \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}=-42$$

6 乘上 \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)}。

$$\left(-k\right)x+\frac{20\left(21-k\right)}{k-10}=-42$$

從方程式兩邊減去 \frac{20\left(21-k\right)}{-10+k}。

$$\left(-k\right)x=-\frac{22k}{k-10}$$

將兩邊同時除以 -k。

$$x=\frac{22}{k-10}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{22}{k-10},y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$