解決{l}{5x=7z}{8x=9z} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 7 z } \\ { 8 x = 9 z } \end{array} \right.$$

解 x、z

$$x=0$$

$$z=0$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 7z。

$$5x-7z=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 9z。

$$8x-9z=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-7z=0$$

將 7z 加到方程式的兩邊。

$$5x=7z$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\times 7z$$

\frac{1}{5} 乘上 7z。

$$x=\frac{7}{5}z$$

在另一個方程式 8x-9z=0 中以 \frac{7z}{5} 代入 x在方程式。

$$8\times \frac{7}{5}z-9z=0$$

8 乘上 \frac{7z}{5}。

$$\frac{56}{5}z-9z=0$$

將 \frac{56z}{5} 加到 -9z。

$$\frac{11}{5}z=0$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$z=0$$

在 x=\frac{7}{5}z 中以 0 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,z=0$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 7z。

$$5x-7z=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 9z。

$$8x-9z=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&\frac{5}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 z。

$$x=0,z=0$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 7z。

$$5x-7z=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 9z。

$$8x-9z=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

讓 5x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$8\times 5x+8\left(-7\right)z=0,5\times 8x+5\left(-9\right)z=0$$

化簡。

$$40x-56z=0,40x-45z=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 40x-56z=0 減去 40x-45z=0。

$$40x-40x-56z+45z=0$$

將 40x 加到 -40x。 40x 和 -40x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-56z+45z=0$$

將 -56z 加到 45z。

$$-11z=0$$

將兩邊同時除以 -11。

$$z=0$$

在 8x-9z=0 中以 0 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x=0$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,z=0$$