解決{l}{5x=4y-2}{5y+1=x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y - 2 } \\ { 5 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$5x-4y=-2$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$5y+1-x=0$$

從兩邊減去 1。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5y-x=-1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-4y=-2$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$5x=4y-2$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-2\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 4y-2。

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}$$

在另一個方程式 -x+5y=-1 中以 \frac{4y-2}{5} 代入 x在方程式。

$$-\left(\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}\right)+5y=-1$$

-1 乘上 \frac{4y-2}{5}。

$$-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5}+5y=-1$$

將 -\frac{4y}{5} 加到 5y。

$$\frac{21}{5}y+\frac{2}{5}=-1$$

從方程式兩邊減去 \frac{2}{5}。

$$\frac{21}{5}y=-\frac{7}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{21}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{1}{3}$$

在 x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5} 中以 -\frac{1}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{5}$$

\frac{4}{5} 乘上 -\frac{1}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{4}{15}-\frac{2}{5}$$

將 -\frac{2}{5} 與 -\frac{4}{15} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$5x-4y=-2$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$5y+1-x=0$$

從兩邊減去 1。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5y-x=-1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{4}{21}\\\frac{1}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-2\right)+\frac{4}{21}\left(-1\right)\\\frac{1}{21}\left(-2\right)+\frac{5}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$5x-4y=-2$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$5y+1-x=0$$

從兩邊減去 1。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5y-x=-1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

讓 5x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-5x-\left(-4y\right)=-\left(-2\right),5\left(-1\right)x+5\times 5y=5\left(-1\right)$$

化簡。

$$-5x+4y=2,-5x+25y=-5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -5x+4y=2 減去 -5x+25y=-5。

$$-5x+5x+4y-25y=2+5$$

將 -5x 加到 5x。 -5x 和 5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-25y=2+5$$

將 4y 加到 -25y。

$$-21y=2+5$$

將 2 加到 5。

$$-21y=7$$

將兩邊同時除以 -21。

$$y=-\frac{1}{3}$$

在 -x+5y=-1 中以 -\frac{1}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$$

5 乘上 -\frac{1}{3}。

$$-x-\frac{5}{3}=-1$$

將 \frac{5}{3} 加到方程式的兩邊。

$$-x=\frac{2}{3}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$