解決{l}{5x=2y+16}{7x=32-2y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$5x-2y=16$$

考慮第二個方程式。 新增 2y 至兩側。

$$7x+2y=32$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-2y=16$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$5x=2y+16$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 16+2y。

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

在另一個方程式 7x+2y=32 中以 \frac{16+2y}{5} 代入 x在方程式。

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

7 乘上 \frac{16+2y}{5}。

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

將 \frac{14y}{5} 加到 2y。

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

從方程式兩邊減去 \frac{112}{5}。

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{24}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

\frac{2}{5} 乘上 2。

$$x=\frac{4+16}{5}$$

將 \frac{16}{5} 與 \frac{4}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$5x-2y=16$$

考慮第二個方程式。 新增 2y 至兩側。

$$7x+2y=32$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$5x-2y=16$$

考慮第二個方程式。 新增 2y 至兩側。

$$7x+2y=32$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

讓 5x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

化簡。

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 35x-14y=112 減去 35x+10y=160。

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

將 35x 加到 -35x。 35x 和 -35x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-14y-10y=112-160$$

將 -14y 加到 -10y。

$$-24y=112-160$$

將 112 加到 -160。

$$-24y=-48$$

將兩邊同時除以 -24。

$$y=2$$

在 7x+2y=32 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+2\times 2=32$$

2 乘上 2。

$$7x+4=32$$

從方程式兩邊減去 4。

$$7x=28$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=2$$