Solve {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+y=9$$

從方程式兩邊減去 y。

$$5x=-y+9$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -y+9。

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

在另一個方程式 10x-7y=-18 中以 \frac{-y+9}{5} 代入 x在方程式。

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

10 乘上 \frac{-y+9}{5}。

$$-2y+18-7y=-18$$

將 -2y 加到 -7y。

$$-9y+18=-18$$

從方程式兩邊減去 18。

$$-9y=-36$$

將兩邊同時除以 -9。

$$y=4$$

在 x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5} 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

-\frac{1}{5} 乘上 4。

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

將 \frac{9}{5} 與 -\frac{4}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

讓 5x 和 10x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 10，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

化簡。

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 50x+10y=90 減去 50x-35y=-90。

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

將 50x 加到 -50x。 50x 和 -50x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y+35y=90+90$$

將 10y 加到 35y。

$$45y=90+90$$

將 90 加到 90。

$$45y=180$$

將兩邊同時除以 45。

$$y=4$$

在 10x-7y=-18 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$10x-7\times 4=-18$$

-7 乘上 4。

$$10x-28=-18$$

將 28 加到方程式的兩邊。

$$10x=10$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=4$$