解決{l}{5x+y=19}{2x+y=1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 19 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=6$$

$$y=-11$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+y=19,2x+y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+y=19$$

從方程式兩邊減去 y。

$$5x=-y+19$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+19\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -y+19。

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}$$

在另一個方程式 2x+y=1 中以 \frac{-y+19}{5} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}\right)+y=1$$

2 乘上 \frac{-y+19}{5}。

$$-\frac{2}{5}y+\frac{38}{5}+y=1$$

將 -\frac{2y}{5} 加到 y。

$$\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{38}{5}。

$$\frac{3}{5}y=-\frac{33}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-11$$

在 x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5} 中以 -11 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{5}\left(-11\right)+\frac{19}{5}$$

-\frac{1}{5} 乘上 -11。

$$x=\frac{11+19}{5}$$

將 \frac{19}{5} 與 \frac{11}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-11$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+y=19,2x+y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 19-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\times 19+\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-11\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=-11$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+y=19,2x+y=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x+y=19 減去 2x+y=1。

$$5x-2x+y-y=19-1$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5x-2x=19-1$$

將 5x 加到 -2x。

$$3x=19-1$$

將 19 加到 -1。

$$3x=18$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=6$$

在 2x+y=1 中以 6 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2\times 6+y=1$$

2 乘上 6。

$$12+y=1$$

從方程式兩邊減去 12。

$$y=-11$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-11$$