解決{l}{5x+6y=1}{5x+y=1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 1 } \\ { 5 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+6y=1,5x+y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+6y=1$$

從方程式兩邊減去 6y。

$$5x=-6y+1$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+1\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -6y+1。

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{1}{5}$$

在另一個方程式 5x+y=1 中以 \frac{-6y+1}{5} 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{6}{5}y+\frac{1}{5}\right)+y=1$$

5 乘上 \frac{-6y+1}{5}。

$$-6y+1+y=1$$

將 -6y 加到 y。

$$-5y+1=1$$

從方程式兩邊減去 1。

$$-5y=0$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=0$$

在 x=-\frac{6}{5}y+\frac{1}{5} 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{5},y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+6y=1,5x+y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-6\times 5}&-\frac{6}{5-6\times 5}\\-\frac{5}{5-6\times 5}&\frac{5}{5-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{6}{25}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1+6}{25}\\\frac{1-1}{5}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{5},y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+6y=1,5x+y=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x+6y=1 減去 5x+y=1。

$$5x-5x+6y-y=1-1$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y-y=1-1$$

將 6y 加到 -y。

$$5y=1-1$$

將 1 加到 -1。

$$5y=0$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=0$$

在 5x+y=1 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x=1$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{5},y=0$$