解決{l}{5x+3y=6}{2x+7y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+3y=6$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$5x=-3y+6$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -3y+6。

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

在另一個方程式 2x+7y=9 中以 \frac{-3y+6}{5} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

2 乘上 \frac{-3y+6}{5}。

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

將 -\frac{6y}{5} 加到 7y。

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

從方程式兩邊減去 \frac{12}{5}。

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{29}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{33}{29}$$

在 x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5} 中以 \frac{33}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

-\frac{3}{5} 乘上 \frac{33}{29} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

將 \frac{6}{5} 與 -\frac{99}{145} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{15}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

讓 5x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

化簡。

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+6y=12 減去 10x+35y=45。

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y-35y=12-45$$

將 6y 加到 -35y。

$$-29y=12-45$$

將 12 加到 -45。

$$-29y=-33$$

將兩邊同時除以 -29。

$$y=\frac{33}{29}$$

在 2x+7y=9 中以 \frac{33}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

7 乘上 \frac{33}{29}。

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

從方程式兩邊減去 \frac{231}{29}。

$$2x=\frac{30}{29}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{15}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$