解決{l}{5x+3y=30}{3x+3y=18} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 30 } \\ { 3 x + 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=6$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+3y=30$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$5x=-3y+30$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+30\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -3y+30。

$$x=-\frac{3}{5}y+6$$

在另一個方程式 3x+3y=18 中以 -\frac{3y}{5}+6 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{3}{5}y+6\right)+3y=18$$

3 乘上 -\frac{3y}{5}+6。

$$-\frac{9}{5}y+18+3y=18$$

將 -\frac{9y}{5} 加到 3y。

$$\frac{6}{5}y+18=18$$

從方程式兩邊減去 18。

$$\frac{6}{5}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{6}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=-\frac{3}{5}y+6 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&\frac{5}{5\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 30-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{1}{2}\times 30+\frac{5}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x+3y=30 減去 3x+3y=18。

$$5x-3x+3y-3y=30-18$$

將 3y 加到 -3y。 3y 和 -3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5x-3x=30-18$$

將 5x 加到 -3x。

$$2x=30-18$$

將 30 加到 -18。

$$2x=12$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=6$$

在 3x+3y=18 中以 6 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3\times 6+3y=18$$

3 乘上 6。

$$18+3y=18$$

從方程式兩邊減去 18。

$$3y=0$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=0$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=0$$