解決{l}{5x+3y=2}{-3x+12y=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 2 } \\ { - 3 x + 12 y = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{8}{23}\approx 0.347826087$$

$$y=\frac{2}{23}\approx 0.086956522$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+3y=2$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$5x=-3y+2$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -3y+2。

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

在另一個方程式 -3x+12y=0 中以 \frac{-3y+2}{5} 代入 x在方程式。

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+12y=0$$

-3 乘上 \frac{-3y+2}{5}。

$$\frac{9}{5}y-\frac{6}{5}+12y=0$$

將 \frac{9y}{5} 加到 12y。

$$\frac{69}{5}y-\frac{6}{5}=0$$

將 \frac{6}{5} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{69}{5}y=\frac{6}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{69}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{2}{23}$$

在 x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} 中以 \frac{2}{23} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{2}{23}+\frac{2}{5}$$

-\frac{3}{5} 乘上 \frac{2}{23} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{6}{115}+\frac{2}{5}$$

將 \frac{2}{5} 與 -\frac{6}{115} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{8}{23}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5\times 12-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 12-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 12-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 12-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{1}{23}&\frac{5}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}\times 2\\\frac{1}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{23}\\\frac{2}{23}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

讓 5x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-3\times 5x-3\times 3y=-3\times 2,5\left(-3\right)x+5\times 12y=0$$

化簡。

$$-15x-9y=-6,-15x+60y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -15x-9y=-6 減去 -15x+60y=0。

$$-15x+15x-9y-60y=-6$$

將 -15x 加到 15x。 -15x 和 15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-9y-60y=-6$$

將 -9y 加到 -60y。

$$-69y=-6$$

將兩邊同時除以 -69。

$$y=\frac{2}{23}$$

在 -3x+12y=0 中以 \frac{2}{23} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x+12\times \frac{2}{23}=0$$

12 乘上 \frac{2}{23}。

$$-3x+\frac{24}{23}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{24}{23}。

$$-3x=-\frac{24}{23}$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=\frac{8}{23}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$