解決{l}{5x+3y=15}{2x+6y=12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 15 } \\ { 2 x + 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+3y=15,2x+6y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+3y=15$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$5x=-3y+15$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+15\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -3y+15。

$$x=-\frac{3}{5}y+3$$

在另一個方程式 2x+6y=12 中以 -\frac{3y}{5}+3 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{3}{5}y+3\right)+6y=12$$

2 乘上 -\frac{3y}{5}+3。

$$-\frac{6}{5}y+6+6y=12$$

將 -\frac{6y}{5} 加到 6y。

$$\frac{24}{5}y+6=12$$

從方程式兩邊減去 6。

$$\frac{24}{5}y=6$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{24}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{5}{4}$$

在 x=-\frac{3}{5}y+3 中以 \frac{5}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{5}{4}+3$$

-\frac{3}{5} 乘上 \frac{5}{4} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{3}{4}+3$$

將 3 加到 -\frac{3}{4}。

$$x=\frac{9}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{5}{4}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+3y=15,2x+6y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&3\\2&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 6-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 6-3\times 2}&\frac{5}{5\times 6-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{12}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 15-\frac{1}{8}\times 12\\-\frac{1}{12}\times 15+\frac{5}{24}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{5}{4}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+3y=15,2x+6y=12$$

讓 5x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 15,5\times 2x+5\times 6y=5\times 12$$

化簡。

$$10x+6y=30,10x+30y=60$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+6y=30 減去 10x+30y=60。

$$10x-10x+6y-30y=30-60$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y-30y=30-60$$

將 6y 加到 -30y。

$$-24y=30-60$$

將 30 加到 -60。

$$-24y=-30$$

將兩邊同時除以 -24。

$$y=\frac{5}{4}$$

在 2x+6y=12 中以 \frac{5}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+6\times \frac{5}{4}=12$$

6 乘上 \frac{5}{4}。

$$2x+\frac{15}{2}=12$$

從方程式兩邊減去 \frac{15}{2}。

$$2x=\frac{9}{2}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{9}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{5}{4}$$