解決{l}{5x+2y=34}{7x-3y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 34 } \\ { 7 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=7$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+2y=34$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$5x=-2y+34$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+34\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -2y+34。

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}$$

在另一個方程式 7x-3y=7 中以 \frac{-2y+34}{5} 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}\right)-3y=7$$

7 乘上 \frac{-2y+34}{5}。

$$-\frac{14}{5}y+\frac{238}{5}-3y=7$$

將 -\frac{14y}{5} 加到 -3y。

$$-\frac{29}{5}y+\frac{238}{5}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{238}{5}。

$$-\frac{29}{5}y=-\frac{203}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{29}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=7$$

在 x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5} 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{5}\times 7+\frac{34}{5}$$

-\frac{2}{5} 乘上 7。

$$x=\frac{-14+34}{5}$$

將 \frac{34}{5} 與 -\frac{14}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=7$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 7}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{5\left(-3\right)-2\times 7}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 34+\frac{2}{29}\times 7\\\frac{7}{29}\times 34-\frac{5}{29}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=7$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

讓 5x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$7\times 5x+7\times 2y=7\times 34,5\times 7x+5\left(-3\right)y=5\times 7$$

化簡。

$$35x+14y=238,35x-15y=35$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 35x+14y=238 減去 35x-15y=35。

$$35x-35x+14y+15y=238-35$$

將 35x 加到 -35x。 35x 和 -35x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$14y+15y=238-35$$

將 14y 加到 15y。

$$29y=238-35$$

將 238 加到 -35。

$$29y=203$$

將兩邊同時除以 29。

$$y=7$$

在 7x-3y=7 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x-3\times 7=7$$

-3 乘上 7。

$$7x-21=7$$

將 21 加到方程式的兩邊。

$$7x=28$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=7$$