解決{l}{5x+2y=0}{6x-1y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 0 } \\ { 6 x - 1 y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{4}{17}\approx 0.235294118$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+2y=0$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$5x=-2y$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)y$$

\frac{1}{5} 乘上 -2y。

$$x=-\frac{2}{5}y$$

在另一個方程式 6x-y=2 中以 -\frac{2y}{5} 代入 x在方程式。

$$6\left(-\frac{2}{5}\right)y-y=2$$

6 乘上 -\frac{2y}{5}。

$$-\frac{12}{5}y-y=2$$

將 -\frac{12y}{5} 加到 -y。

$$-\frac{17}{5}y=2$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{17}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{10}{17}$$

在 x=-\frac{2}{5}y 中以 -\frac{10}{17} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{10}{17}\right)$$

-\frac{2}{5} 乘上 -\frac{10}{17} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{4}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-2\times 6}&-\frac{2}{5\left(-1\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{5\left(-1\right)-2\times 6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{6}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 2\\-\frac{5}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

讓 5x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$6\times 5x+6\times 2y=0,5\times 6x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

化簡。

$$30x+12y=0,30x-5y=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 30x+12y=0 減去 30x-5y=10。

$$30x-30x+12y+5y=-10$$

將 30x 加到 -30x。 30x 和 -30x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12y+5y=-10$$

將 12y 加到 5y。

$$17y=-10$$

將兩邊同時除以 17。

$$y=-\frac{10}{17}$$

在 6x-y=2 中以 -\frac{10}{17} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

從方程式兩邊減去 \frac{10}{17}。

$$6x=\frac{24}{17}$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{4}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$