解決{l}{5x+2y=-16}{2x-3y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 16 } \\ { 2 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+2y=-16$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$5x=-2y-16$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-16\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -2y-16。

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}$$

在另一個方程式 2x-3y=5 中以 \frac{-2y-16}{5} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}\right)-3y=5$$

2 乘上 \frac{-2y-16}{5}。

$$-\frac{4}{5}y-\frac{32}{5}-3y=5$$

將 -\frac{4y}{5} 加到 -3y。

$$-\frac{19}{5}y-\frac{32}{5}=5$$

將 \frac{32}{5} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{19}{5}y=\frac{57}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{19}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-3$$

在 x=-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5} 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{16}{5}$$

-\frac{2}{5} 乘上 -3。

$$x=\frac{6-16}{5}$$

將 -\frac{16}{5} 與 \frac{6}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\left(-16\right)+\frac{2}{19}\times 5\\\frac{2}{19}\left(-16\right)-\frac{5}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

讓 5x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-16\right),5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 5$$

化簡。

$$10x+4y=-32,10x-15y=25$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+4y=-32 減去 10x-15y=25。

$$10x-10x+4y+15y=-32-25$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y+15y=-32-25$$

將 4y 加到 15y。

$$19y=-32-25$$

將 -32 加到 -25。

$$19y=-57$$

將兩邊同時除以 19。

$$y=-3$$

在 2x-3y=5 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-3\left(-3\right)=5$$

-3 乘上 -3。

$$2x+9=5$$

從方程式兩邊減去 9。

$$2x=-4$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-3$$