解決{l}{5x+(3y-2)=0}{x+y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + ( 3 y - 2 ) = 0 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-14$$

$$y=24$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+3y-2=0$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$5x+3y=2$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$5x=-3y+2$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -3y+2。

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

在另一個方程式 x+y=10 中以 \frac{-3y+2}{5} 代入 x在方程式。

$$-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}+y=10$$

將 -\frac{3y}{5} 加到 y。

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}=10$$

從方程式兩邊減去 \frac{2}{5}。

$$\frac{2}{5}y=\frac{48}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=24$$

在 x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} 中以 24 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{5}\times 24+\frac{2}{5}$$

-\frac{3}{5} 乘上 24。

$$x=\frac{-72+2}{5}$$

將 \frac{2}{5} 與 -\frac{72}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-14$$

現已成功解出系統。

$$x=-14,y=24$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{3}{5-3}\\-\frac{1}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-\frac{3}{2}\times 10\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{5}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\24\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-14,y=24$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

讓 5x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$5x+3y-2=0,5x+5y=5\times 10$$

化簡。

$$5x+3y-2=0,5x+5y=50$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x+3y-2=0 減去 5x+5y=50。

$$5x-5x+3y-5y-2=-50$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-5y-2=-50$$

將 3y 加到 -5y。

$$-2y-2=-50$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$-2y=-48$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=24$$

在 x+y=10 中以 24 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+24=10$$

從方程式兩邊減去 24。

$$x=-14$$

現已成功解出系統。

$$x=-14,y=24$$