解決{l}{5u+6v=-4}{5u+6v+10=v} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + 6 v = - 4 } \\ { 5 u + 6 v + 10 = v } \end{array} \right.$$

解 u、v

$$u=-8$$

$$v=6$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 v。

$$5u+6v+10-v=0$$

合併 6v 和 -v 以取得 5v。

$$5u+5v+10=0$$

從兩邊減去 10。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5u+5v=-10$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5u+6v=-4,5u+5v=-10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 u: 將 u 單獨置於等號的左邊。

$$5u+6v=-4$$

從方程式兩邊減去 6v。

$$5u=-6v-4$$

將兩邊同時除以 5。

$$u=\frac{1}{5}\left(-6v-4\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -6v-4。

$$u=-\frac{6}{5}v-\frac{4}{5}$$

在另一個方程式 5u+5v=-10 中以 \frac{-6v-4}{5} 代入 u在方程式。

$$5\left(-\frac{6}{5}v-\frac{4}{5}\right)+5v=-10$$

5 乘上 \frac{-6v-4}{5}。

$$-6v-4+5v=-10$$

將 -6v 加到 5v。

$$-v-4=-10$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$-v=-6$$

將兩邊同時除以 -1。

$$v=6$$

在 u=-\frac{6}{5}v-\frac{4}{5} 中以 6 代入 v。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 u。

$$u=-\frac{6}{5}\times 6-\frac{4}{5}$$

-\frac{6}{5} 乘上 6。

$$u=\frac{-36-4}{5}$$

將 -\frac{4}{5} 與 -\frac{36}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$u=-8$$

現已成功解出系統。

$$u=-8,v=6$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 v。

$$5u+6v+10-v=0$$

合併 6v 和 -v 以取得 5v。

$$5u+5v+10=0$$

從兩邊減去 10。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5u+5v=-10$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5u+6v=-4,5u+5v=-10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&6\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&6\\5&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-6\times 5}&-\frac{6}{5\times 5-6\times 5}\\-\frac{5}{5\times 5-6\times 5}&\frac{5}{5\times 5-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{6}{5}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-4\right)+\frac{6}{5}\left(-10\right)\\-4-\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 u 和 v。

$$u=-8,v=6$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 v。

$$5u+6v+10-v=0$$

合併 6v 和 -v 以取得 5v。

$$5u+5v+10=0$$

從兩邊減去 10。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5u+5v=-10$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5u+6v=-4,5u+5v=-10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5u+6v=-4 減去 5u+5v=-10。

$$5u-5u+6v-5v=-4+10$$

將 5u 加到 -5u。 5u 和 -5u 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6v-5v=-4+10$$

將 6v 加到 -5v。

$$v=-4+10$$

將 -4 加到 10。

$$v=6$$

在 5u+5v=-10 中以 6 代入 v。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 u。

$$5u+5\times 6=-10$$

5 乘上 6。

$$5u+30=-10$$

從方程式兩邊減去 30。

$$5u=-40$$

將兩邊同時除以 5。

$$u=-8$$

現已成功解出系統。

$$u=-8,v=6$$