解決{l}{5b+c=8}{4b+4c=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + c = 8 } \\ { 4 b + 4 c = 8 } \end{array} \right.$$

解 b、c

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$c=\frac{1}{2}=0.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 b: 將 b 單獨置於等號的左邊。

$$5b+c=8$$

從方程式兩邊減去 c。

$$5b=-c+8$$

將兩邊同時除以 5。

$$b=\frac{1}{5}\left(-c+8\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -c+8。

$$b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}$$

在另一個方程式 4b+4c=8 中以 \frac{-c+8}{5} 代入 b在方程式。

$$4\left(-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}\right)+4c=8$$

4 乘上 \frac{-c+8}{5}。

$$-\frac{4}{5}c+\frac{32}{5}+4c=8$$

將 -\frac{4c}{5} 加到 4c。

$$\frac{16}{5}c+\frac{32}{5}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{32}{5}。

$$\frac{16}{5}c=\frac{8}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{16}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$c=\frac{1}{2}$$

在 b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5} 中以 \frac{1}{2} 代入 c。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$b=-\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{5}$$

-\frac{1}{5} 乘上 \frac{1}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$b=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}$$

將 \frac{8}{5} 與 -\frac{1}{10} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$b=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-4}&-\frac{1}{5\times 4-4}\\-\frac{4}{5\times 4-4}&\frac{5}{5\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{16}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{5}{16}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 b 和 c。

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

讓 5b 和 4b 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$4\times 5b+4c=4\times 8,5\times 4b+5\times 4c=5\times 8$$

化簡。

$$20b+4c=32,20b+20c=40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20b+4c=32 減去 20b+20c=40。

$$20b-20b+4c-20c=32-40$$

將 20b 加到 -20b。 20b 和 -20b 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4c-20c=32-40$$

將 4c 加到 -20c。

$$-16c=32-40$$

將 32 加到 -40。

$$-16c=-8$$

將兩邊同時除以 -16。

$$c=\frac{1}{2}$$

在 4b+4c=8 中以 \frac{1}{2} 代入 c。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$4b+4\times \frac{1}{2}=8$$

4 乘上 \frac{1}{2}。

$$4b+2=8$$

從方程式兩邊減去 2。

$$4b=6$$

將兩邊同時除以 4。

$$b=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$