解決{l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 5 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$5x+10=4y$$

從兩邊減去 4y。

$$5x+10-4y=0$$

從兩邊減去 10。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5x-4y=-10$$

考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 y-4 時使用乘法分配律。

$$3y-12=6x$$

從兩邊減去 6x。

$$3y-12-6x=0$$

新增 12 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$3y-6x=12$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-4y=-10$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$5x=4y-10$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 4y-10。

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

在另一個方程式 -6x+3y=12 中以 \frac{4y}{5}-2 代入 x在方程式。

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

-6 乘上 \frac{4y}{5}-2。

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

將 -\frac{24y}{5} 加到 3y。

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

從方程式兩邊減去 12。

$$-\frac{9}{5}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{9}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=\frac{4}{5}y-2 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=0$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 5 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$5x+10=4y$$

從兩邊減去 4y。

$$5x+10-4y=0$$

從兩邊減去 10。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5x-4y=-10$$

考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 y-4 時使用乘法分配律。

$$3y-12=6x$$

從兩邊減去 6x。

$$3y-12-6x=0$$

新增 12 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$3y-6x=12$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=0$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 5 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$5x+10=4y$$

從兩邊減去 4y。

$$5x+10-4y=0$$

從兩邊減去 10。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5x-4y=-10$$

考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 y-4 時使用乘法分配律。

$$3y-12=6x$$

從兩邊減去 6x。

$$3y-12-6x=0$$

新增 12 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$3y-6x=12$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

讓 5x 和 -6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

化簡。

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -30x+24y=60 減去 -30x+15y=60。

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

將 -30x 加到 30x。 -30x 和 30x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$24y-15y=60-60$$

將 24y 加到 -15y。

$$9y=60-60$$

將 60 加到 -60。

$$9y=0$$

將兩邊同時除以 9。

$$y=0$$

在 -6x+3y=12 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-6x=12$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=0$$