解決{l}{41x+53y=135}{53x+41y=147} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$41x+53y=135$$

從方程式兩邊減去 53y。

$$41x=-53y+135$$

將兩邊同時除以 41。

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

\frac{1}{41} 乘上 -53y+135。

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

在另一個方程式 53x+41y=147 中以 \frac{-53y+135}{41} 代入 x在方程式。

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

53 乘上 \frac{-53y+135}{41}。

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

將 -\frac{2809y}{41} 加到 41y。

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

從方程式兩邊減去 \frac{7155}{41}。

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{1128}{41}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

將 \frac{135}{41} 與 -\frac{53}{41} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

讓 41x 和 53x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 53，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 41。

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

化簡。

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2173x+2809y=7155 減去 2173x+1681y=6027。

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

將 2173x 加到 -2173x。 2173x 和 -2173x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2809y-1681y=7155-6027$$

將 2809y 加到 -1681y。

$$1128y=7155-6027$$

將 7155 加到 -6027。

$$1128y=1128$$

將兩邊同時除以 1128。

$$y=1$$

在 53x+41y=147 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$53x+41=147$$

從方程式兩邊減去 41。

$$53x=106$$

將兩邊同時除以 53。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=1$$