解決{l}{400-3x+5y=17}{5x+4y=400} |Microsoft數學求解器

解 x、y

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-3x+5y+400=17,5x+4y=400

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

-3x+5y+400=17

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

-3x+5y=-383

從方程式兩邊減去 400。

-3x=-5y-383

從方程式兩邊減去 5y。

x=-\frac{1}{3}\left(-5y-383\right)

將兩邊同時除以 -3。

x=\frac{5}{3}y+\frac{383}{3}

-\frac{1}{3} 乘上 -5y-383。

5\left(\frac{5}{3}y+\frac{383}{3}\right)+4y=400

在另一個方程式 5x+4y=400 中以 \frac{5y+383}{3} 代入 x在方程式。

\frac{25}{3}y+\frac{1915}{3}+4y=400

5 乘上 \frac{5y+383}{3}。

\frac{37}{3}y+\frac{1915}{3}=400

將 \frac{25y}{3} 加到 4y。

\frac{37}{3}y=-\frac{715}{3}

從方程式兩邊減去 \frac{1915}{3}。

y=-\frac{715}{37}

對方程式的兩邊同時除以 \frac{37}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=\frac{5}{3}\left(-\frac{715}{37}\right)+\frac{383}{3}

在 x=\frac{5}{3}y+\frac{383}{3} 中以 -\frac{715}{37} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=-\frac{3575}{111}+\frac{383}{3}

\frac{5}{3} 乘上 -\frac{715}{37} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

x=\frac{3532}{37}

將 \frac{383}{3} 與 -\frac{3575}{111} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=\frac{3532}{37},y=-\frac{715}{37}

現已成功解出系統。

-3x+5y+400=17,5x+4y=400

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-383\\400\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-383\\400\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-383\\400\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-383\\400\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-5\times 5}&-\frac{5}{-3\times 4-5\times 5}\\-\frac{5}{-3\times 4-5\times 5}&-\frac{3}{-3\times 4-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-383\\400\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}&\frac{5}{37}\\\frac{5}{37}&\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-383\\400\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}\left(-383\right)+\frac{5}{37}\times 400\\\frac{5}{37}\left(-383\right)+\frac{3}{37}\times 400\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3532}{37}\\-\frac{715}{37}\end{matrix}\right)

計算。

x=\frac{3532}{37},y=-\frac{715}{37}

解出矩陣元素 x 和 y。

-3x+5y+400=17,5x+4y=400

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\times 400=5\times 17,-3\times 5x-3\times 4y=-3\times 400

讓 -3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。

-15x+25y+2000=85,-15x-12y=-1200

化簡。

-15x+15x+25y+12y+2000=85+1200