解決{l}{40x+4y=80}{8x-15y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 4 y = 80 } \\ { 8 x - 15 y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{299}{158} = 1\frac{141}{158} \approx 1.892405063$$

$$y = \frac{85}{79} = 1\frac{6}{79} \approx 1.075949367$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$40x+4y=80$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$40x=-4y+80$$

將兩邊同時除以 40。

$$x=\frac{1}{40}\left(-4y+80\right)$$

\frac{1}{40} 乘上 -4y+80。

$$x=-\frac{1}{10}y+2$$

在另一個方程式 8x-15y=-1 中以 -\frac{y}{10}+2 代入 x在方程式。

$$8\left(-\frac{1}{10}y+2\right)-15y=-1$$

8 乘上 -\frac{y}{10}+2。

$$-\frac{4}{5}y+16-15y=-1$$

將 -\frac{4y}{5} 加到 -15y。

$$-\frac{79}{5}y+16=-1$$

從方程式兩邊減去 16。

$$-\frac{79}{5}y=-17$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{79}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{85}{79}$$

在 x=-\frac{1}{10}y+2 中以 \frac{85}{79} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{10}\times \frac{85}{79}+2$$

-\frac{1}{10} 乘上 \frac{85}{79} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{17}{158}+2$$

將 2 加到 -\frac{17}{158}。

$$x=\frac{299}{158}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{40\left(-15\right)-4\times 8}&-\frac{4}{40\left(-15\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{40\left(-15\right)-4\times 8}&\frac{40}{40\left(-15\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{632}&\frac{1}{158}\\\frac{1}{79}&-\frac{5}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{632}\times 80+\frac{1}{158}\left(-1\right)\\\frac{1}{79}\times 80-\frac{5}{79}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{158}\\\frac{85}{79}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

讓 40x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 40。

$$8\times 40x+8\times 4y=8\times 80,40\times 8x+40\left(-15\right)y=40\left(-1\right)$$

化簡。

$$320x+32y=640,320x-600y=-40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 320x+32y=640 減去 320x-600y=-40。

$$320x-320x+32y+600y=640+40$$

將 320x 加到 -320x。 320x 和 -320x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$32y+600y=640+40$$

將 32y 加到 600y。

$$632y=640+40$$

將 640 加到 40。

$$632y=680$$

將兩邊同時除以 632。

$$y=\frac{85}{79}$$

在 8x-15y=-1 中以 \frac{85}{79} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x-15\times \frac{85}{79}=-1$$

-15 乘上 \frac{85}{79}。

$$8x-\frac{1275}{79}=-1$$

將 \frac{1275}{79} 加到方程式的兩邊。

$$8x=\frac{1196}{79}$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{299}{158}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$