解決{l}{40x+30y=500}{60x+15y=600} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$40x+30y=500$$

從方程式兩邊減去 30y。

$$40x=-30y+500$$

將兩邊同時除以 40。

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

\frac{1}{40} 乘上 -30y+500。

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

在另一個方程式 60x+15y=600 中以 -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} 代入 x在方程式。

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

60 乘上 -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}。

$$-45y+750+15y=600$$

將 -45y 加到 15y。

$$-30y+750=600$$

從方程式兩邊減去 750。

$$-30y=-150$$

將兩邊同時除以 -30。

$$y=5$$

在 x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

-\frac{3}{4} 乘上 5。

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

將 \frac{25}{2} 與 -\frac{15}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{35}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

讓 40x 和 60x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 60，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 40。

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

化簡。

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2400x+1800y=30000 減去 2400x+600y=24000。

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

將 2400x 加到 -2400x。 2400x 和 -2400x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$1800y-600y=30000-24000$$

將 1800y 加到 -600y。

$$1200y=30000-24000$$

將 30000 加到 -24000。

$$1200y=6000$$

將兩邊同時除以 1200。

$$y=5$$

在 60x+15y=600 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$60x+15\times 5=600$$

15 乘上 5。

$$60x+75=600$$

從方程式兩邊減去 75。

$$60x=525$$

將兩邊同時除以 60。

$$x=\frac{35}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{35}{4},y=5$$