解決{l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=6$$

$$y=-10$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 新增 4y 至兩側。

$$x+4y=-34$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$4y-5x=-70$$

將 5x 加到方程式的兩邊。

$$4y=5x-70$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -70+5x。

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

在另一個方程式 4y+x=-34 中以 -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} 代入 y在方程式。

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

4 乘上 -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}。

$$5x-70+x=-34$$

將 5x 加到 x。

$$6x-70=-34$$

將 70 加到方程式的兩邊。

$$6x=36$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=6$$

在 y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2} 中以 6 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

\frac{5}{4} 乘上 6。

$$y=\frac{15-35}{2}$$

將 -\frac{35}{2} 與 \frac{15}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=-10$$

現已成功解出系統。

$$y=-10,x=6$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 新增 4y 至兩側。

$$x+4y=-34$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-10,x=6$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 新增 4y 至兩側。

$$x+4y=-34$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4y-5x=-70 減去 4y+x=-34。

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

將 4y 加到 -4y。 4y 和 -4y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5x-x=-70+34$$

將 -5x 加到 -x。

$$-6x=-70+34$$

將 -70 加到 34。

$$-6x=-36$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=6$$

在 4y+x=-34 中以 6 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$4y+6=-34$$

從方程式兩邊減去 6。

$$4y=-40$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=-10$$

現已成功解出系統。

$$y=-10,x=6$$