解決{l}{4x-y=1}{2x+y=4} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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4x-y=1,2x+y=4

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

4x-y=1

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

4x=y+1

將 y 加到方程式的兩邊。

x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)

將兩邊同時除以 4。

x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}

\frac{1}{4} 乘上 y+1。

2\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=4

在另一個方程式 2x+y=4 中以 \frac{1+y}{4} 代入 x在方程式。

\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4

2 乘上 \frac{1+y}{4}。

\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4

將 \frac{y}{2} 加到 y。

\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}

從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。

y=\frac{7}{3}

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{4}

在 x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4} 中以 \frac{7}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{7}{12}+\frac{1}{4}

\frac{1}{4} 乘上 \frac{7}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

x=\frac{5}{6}

將 \frac{1}{4} 與 \frac{7}{12} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}

現已成功解出系統。

4x-y=1,2x+y=4

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)

計算。

x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}

解出矩陣元素 x 和 y。

4x-y=1,2x+y=4

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

2\times 4x+2\left(-1\right)y=2,4\times 2x+4y=4\times 4

讓 4x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

8x-2y=2,8x+4y=16