解決{l}{4x-9y=-18}{-9x+10y=-21} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 9 y = - 18 } \\ { - 9 x + 10 y = - 21 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=9$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-9y=-18,-9x+10y=-21$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-9y=-18$$

將 9y 加到方程式的兩邊。

$$4x=9y-18$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(9y-18\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -18+9y。

$$x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{2}$$

在另一個方程式 -9x+10y=-21 中以 -\frac{9}{2}+\frac{9y}{4} 代入 x在方程式。

$$-9\left(\frac{9}{4}y-\frac{9}{2}\right)+10y=-21$$

-9 乘上 -\frac{9}{2}+\frac{9y}{4}。

$$-\frac{81}{4}y+\frac{81}{2}+10y=-21$$

將 -\frac{81y}{4} 加到 10y。

$$-\frac{41}{4}y+\frac{81}{2}=-21$$

從方程式兩邊減去 \frac{81}{2}。

$$-\frac{41}{4}y=-\frac{123}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{41}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=6$$

在 x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{2} 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{9}{4}\times 6-\frac{9}{2}$$

\frac{9}{4} 乘上 6。

$$x=\frac{27-9}{2}$$

將 -\frac{9}{2} 與 \frac{27}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-9y=-18,-9x+10y=-21$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-9\\-9&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-21\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-9\\-9&10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\-9&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-9\\-9&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\-9&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-21\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\-9&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-21\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\-9&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-21\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-9\left(-9\right)\right)}&-\frac{-9}{4\times 10-\left(-9\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{4\times 10-\left(-9\left(-9\right)\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-9\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{41}&-\frac{9}{41}\\-\frac{9}{41}&-\frac{4}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-21\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{41}\left(-18\right)-\frac{9}{41}\left(-21\right)\\-\frac{9}{41}\left(-18\right)-\frac{4}{41}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=9,y=6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-9y=-18,-9x+10y=-21$$

讓 4x 和 -9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$-9\times 4x-9\left(-9\right)y=-9\left(-18\right),4\left(-9\right)x+4\times 10y=4\left(-21\right)$$

化簡。

$$-36x+81y=162,-36x+40y=-84$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -36x+81y=162 減去 -36x+40y=-84。

$$-36x+36x+81y-40y=162+84$$

將 -36x 加到 36x。 -36x 和 36x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$81y-40y=162+84$$

將 81y 加到 -40y。

$$41y=162+84$$

將 162 加到 84。

$$41y=246$$

將兩邊同時除以 41。

$$y=6$$

在 -9x+10y=-21 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-9x+10\times 6=-21$$

10 乘上 6。

$$-9x+60=-21$$

從方程式兩邊減去 60。

$$-9x=-81$$

將兩邊同時除以 -9。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=6$$