解決{l}{4x-5y=18}{3x-2y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 18 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-5y=18$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$4x=5y+18$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+18\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 5y+18。

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}$$

在另一個方程式 3x-2y=10 中以 \frac{5y}{4}+\frac{9}{2} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}\right)-2y=10$$

3 乘上 \frac{5y}{4}+\frac{9}{2}。

$$\frac{15}{4}y+\frac{27}{2}-2y=10$$

將 \frac{15y}{4} 加到 -2y。

$$\frac{7}{4}y+\frac{27}{2}=10$$

從方程式兩邊減去 \frac{27}{2}。

$$\frac{7}{4}y=-\frac{7}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{2} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{9}{2}$$

\frac{5}{4} 乘上 -2。

$$x=\frac{-5+9}{2}$$

將 \frac{9}{2} 與 -\frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 18+\frac{5}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 18+\frac{4}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\times 18,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 10$$

化簡。

$$12x-15y=54,12x-8y=40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-15y=54 減去 12x-8y=40。

$$12x-12x-15y+8y=54-40$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-15y+8y=54-40$$

將 -15y 加到 8y。

$$-7y=54-40$$

將 54 加到 -40。

$$-7y=14$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=-2$$

在 3x-2y=10 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-2\left(-2\right)=10$$

-2 乘上 -2。

$$3x+4=10$$

從方程式兩邊減去 4。

$$3x=6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-2$$