解決{l}{4x-3y-10=0}{3x+4y+5=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 3 x + 4 y + 5 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-3y-10=0$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$4x-3y=10$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$4x=3y+10$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+10\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 3y+10。

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

在另一個方程式 3x+4y+5=0 中以 \frac{3y}{4}+\frac{5}{2} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y+5=0$$

3 乘上 \frac{3y}{4}+\frac{5}{2}。

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}+4y+5=0$$

將 \frac{9y}{4} 加到 4y。

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{2}+5=0$$

將 \frac{15}{2} 加到 5。

$$\frac{25}{4}y+\frac{25}{2}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{25}{2}。

$$\frac{25}{4}y=-\frac{25}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{25}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

\frac{3}{4} 乘上 -2。

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

將 \frac{5}{2} 與 -\frac{3}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10+\frac{3}{25}\left(-5\right)\\-\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 4y+4\times 5=0$$

化簡。

$$12x-9y-30=0,12x+16y+20=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-9y-30=0 減去 12x+16y+20=0。

$$12x-12x-9y-16y-30-20=0$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-9y-16y-30-20=0$$

將 -9y 加到 -16y。

$$-25y-30-20=0$$

將 -30 加到 -20。

$$-25y-50=0$$

將 50 加到方程式的兩邊。

$$-25y=50$$

將兩邊同時除以 -25。

$$y=-2$$

在 3x+4y+5=0 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+4\left(-2\right)+5=0$$

4 乘上 -2。

$$3x-8+5=0$$

將 -8 加到 5。

$$3x-3=0$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$3x=3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-2$$