解決{l}{4x-3y=1}{5x+y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$y = \frac{23}{19} = 1\frac{4}{19} \approx 1.210526316$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-3y=1$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$4x=3y+1$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 3y+1。

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

在另一個方程式 5x+y=7 中以 \frac{3y+1}{4} 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=7$$

5 乘上 \frac{3y+1}{4}。

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+y=7$$

將 \frac{15y}{4} 加到 y。

$$\frac{19}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{4}。

$$\frac{19}{4}y=\frac{23}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{23}{19}$$

在 x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4} 中以 \frac{23}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{4}\times \frac{23}{19}+\frac{1}{4}$$

\frac{3}{4} 乘上 \frac{23}{19} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{69}{76}+\frac{1}{4}$$

將 \frac{1}{4} 與 \frac{69}{76} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{22}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}+\frac{3}{19}\times 7\\-\frac{5}{19}+\frac{4}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{23}{19}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

讓 4x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4y=4\times 7$$

化簡。

$$20x-15y=5,20x+4y=28$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x-15y=5 減去 20x+4y=28。

$$20x-20x-15y-4y=5-28$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-15y-4y=5-28$$

將 -15y 加到 -4y。

$$-19y=5-28$$

將 5 加到 -28。

$$-19y=-23$$

將兩邊同時除以 -19。

$$y=\frac{23}{19}$$

在 5x+y=7 中以 \frac{23}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+\frac{23}{19}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{23}{19}。

$$5x=\frac{110}{19}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{22}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$