解決{l}{4x-2y=5}{3x-4y=15} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-2y=5$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$4x=2y+5$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 2y+5。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 3x-4y=15 中以 \frac{y}{2}+\frac{5}{4} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)-4y=15$$

3 乘上 \frac{y}{2}+\frac{5}{4}。

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{4}-4y=15$$

將 \frac{3y}{2} 加到 -4y。

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{4}=15$$

從方程式兩邊減去 \frac{15}{4}。

$$-\frac{5}{2}y=\frac{45}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{9}{2}$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4} 中以 -\frac{9}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{9}{2}\right)+\frac{5}{4}$$

\frac{1}{2} 乘上 -\frac{9}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

將 \frac{5}{4} 與 -\frac{9}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 15\\\frac{3}{10}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

化簡。

$$12x-6y=15,12x-16y=60$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-6y=15 減去 12x-16y=60。

$$12x-12x-6y+16y=15-60$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y+16y=15-60$$

將 -6y 加到 16y。

$$10y=15-60$$

將 15 加到 -60。

$$10y=-45$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=-\frac{9}{2}$$

在 3x-4y=15 中以 -\frac{9}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-4\left(-\frac{9}{2}\right)=15$$

-4 乘上 -\frac{9}{2}。

$$3x+18=15$$

從方程式兩邊減去 18。

$$3x=-3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$