解決{l}{4x=3y}{y+3=x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 3 y } \\ { y + 3 = x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$4x-3y=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y+3-x=0$$

從兩邊減去 3。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$y-x=-3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-3y=0$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$4x=3y$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\times 3y$$

\frac{1}{4} 乘上 3y。

$$x=\frac{3}{4}y$$

在另一個方程式 -x+y=-3 中以 \frac{3y}{4} 代入 x在方程式。

$$-\frac{3}{4}y+y=-3$$

將 -\frac{3y}{4} 加到 y。

$$\frac{1}{4}y=-3$$

將兩邊同時乘上 4。

$$y=-12$$

在 x=\frac{3}{4}y 中以 -12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

\frac{3}{4} 乘上 -12。

$$x=-9$$

現已成功解出系統。

$$x=-9,y=-12$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$4x-3y=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y+3-x=0$$

從兩邊減去 3。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$y-x=-3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-3\right)\\4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-9,y=-12$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$4x-3y=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y+3-x=0$$

從兩邊減去 3。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$y-x=-3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

讓 4x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$-4x-\left(-3y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

化簡。

$$-4x+3y=0,-4x+4y=-12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x+3y=0 減去 -4x+4y=-12。

$$-4x+4x+3y-4y=12$$

將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-4y=12$$

將 3y 加到 -4y。

$$-y=12$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-12$$

在 -x+y=-3 中以 -12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x-12=-3$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$-x=9$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-9$$

現已成功解出系統。

$$x=-9,y=-12$$