Solve {l}{4x+y=8}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 8 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+y=8,x-y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+y=8$$

從方程式兩邊減去 y。

$$4x=-y+8$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -y+8。

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

在另一個方程式 x-y=2 中以 -\frac{y}{4}+2 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{4}y+2-y=2$$

將 -\frac{y}{4} 加到 -y。

$$-\frac{5}{4}y+2=2$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-\frac{5}{4}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=-\frac{1}{4}y+2 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+y=8,x-y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&\frac{4}{4\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{4}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+y=8,x-y=2$$

讓 4x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$4x+y=8,4x+4\left(-1\right)y=4\times 2$$

化簡。

$$4x+y=8,4x-4y=8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+y=8 減去 4x-4y=8。

$$4x-4x+y+4y=8-8$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y+4y=8-8$$

將 y 加到 4y。

$$5y=8-8$$

將 8 加到 -8。

$$5y=0$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=0$$

在 x-y=2 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=0$$