解決{l}{4x+y=100}{2x+2y=56} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 100 } \\ { 2 x + 2 y = 56 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=24$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+y=100$$

從方程式兩邊減去 y。

$$4x=-y+100$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+100\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -y+100。

$$x=-\frac{1}{4}y+25$$

在另一個方程式 2x+2y=56 中以 -\frac{y}{4}+25 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{1}{4}y+25\right)+2y=56$$

2 乘上 -\frac{y}{4}+25。

$$-\frac{1}{2}y+50+2y=56$$

將 -\frac{y}{2} 加到 2y。

$$\frac{3}{2}y+50=56$$

從方程式兩邊減去 50。

$$\frac{3}{2}y=6$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=4$$

在 x=-\frac{1}{4}y+25 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{4}\times 4+25$$

-\frac{1}{4} 乘上 4。

$$x=-1+25$$

將 25 加到 -1。

$$x=24$$

現已成功解出系統。

$$x=24,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-2}&-\frac{1}{4\times 2-2}\\-\frac{2}{4\times 2-2}&\frac{4}{4\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 100-\frac{1}{6}\times 56\\-\frac{1}{3}\times 100+\frac{2}{3}\times 56\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=24,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

讓 4x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$2\times 4x+2y=2\times 100,4\times 2x+4\times 2y=4\times 56$$

化簡。

$$8x+2y=200,8x+8y=224$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+2y=200 減去 8x+8y=224。

$$8x-8x+2y-8y=200-224$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-8y=200-224$$

將 2y 加到 -8y。

$$-6y=200-224$$

將 200 加到 -224。

$$-6y=-24$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=4$$

在 2x+2y=56 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+2\times 4=56$$

2 乘上 4。

$$2x+8=56$$

從方程式兩邊減去 8。

$$2x=48$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=24$$

現已成功解出系統。

$$x=24,y=4$$