解決{l}{4x+9y=28}{-4x-y=-28} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = 28 } \\ { - 4 x - y = - 28 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=7$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+9y=28$$

從方程式兩邊減去 9y。

$$4x=-9y+28$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y+28\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -9y+28。

$$x=-\frac{9}{4}y+7$$

在另一個方程式 -4x-y=-28 中以 -\frac{9y}{4}+7 代入 x在方程式。

$$-4\left(-\frac{9}{4}y+7\right)-y=-28$$

-4 乘上 -\frac{9y}{4}+7。

$$9y-28-y=-28$$

將 9y 加到 -y。

$$8y-28=-28$$

將 28 加到方程式的兩邊。

$$8y=0$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=0$$

在 x=-\frac{9}{4}y+7 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&-\frac{9}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}\times 28-\frac{9}{32}\left(-28\right)\\\frac{1}{8}\times 28+\frac{1}{8}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=7,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

讓 4x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$-4\times 4x-4\times 9y=-4\times 28,4\left(-4\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-28\right)$$

化簡。

$$-16x-36y=-112,-16x-4y=-112$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -16x-36y=-112 減去 -16x-4y=-112。

$$-16x+16x-36y+4y=-112+112$$

將 -16x 加到 16x。 -16x 和 16x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-36y+4y=-112+112$$

將 -36y 加到 4y。

$$-32y=-112+112$$

將 -112 加到 112。

$$-32y=0$$

將兩邊同時除以 -32。

$$y=0$$

在 -4x-y=-28 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x=-28$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=0$$